Як правильно написати мій день народження?

Пояснення дуже просте: присвійний займенник має відповідати роду того іменника, до якого воно належить. Якщо в нас "день народження", де "день" – це іменник чоловічого роду, то присвійний займенник теж має бути чоловічого роду, тобто "мій".